都内で中学受験の塾講師をしているものです
受験むけのコースは確かに小学4年生から開講されることが多いですが、小学4年生、5年生の授業は、そこまで多くありません。週に１、２回くらいが平均です。
このくらいの授業量ですので、宿題をやる時間を含めてもそこまで遊びの時間を奪う障害にはならないと思います。
小学生の時期は学びも大切だと自身でも理解していらっしゃるようなので、塾に入って勉強をするのも良いかと思いますよ。

確かに小学生は遊び盛りで、中学生になれば高校受験、高校生になれば今度は大学受験と、いつかは受験戦争に巻き込まれる身。

せめて小学生のうちぐらいは自由に遊ばせてあげたい、それが子供の成長にも繋がる。
その通りです。何も間違っておりません。

ただ、塾で勉強をさせる経験もまた子供の成長に繋がる、ということも知っておいてほしいです。

小学生だからこそ遊ぶべき、という考え方があるように、小学生だからこそ勉強すべき、という考え方もあるのです。

具体的なメリットとしては、
・小学生から勉強を頑張ることで、中学以降の勉強が楽になる
・勉強をする癖や勉強法を早い段階で身につけられる
・勉強に対してそれほど苦手意識を持たなくなる

などが挙げられます。
どうでしょうか。これらは全て、子供の成長にもしっかり繋がると思います。

絶対に子供を勉強させなければならない、という必要は全くありません。
しかし同時に、絶対に子供を遊ばせなければならないということもないのです。
全ては、どちらのメリットを取るかに委ねられると思います。