都内で国語の塾講師をしている者です。
僕自身、今は国語の講師をしていますが、学生時代は国語が最も苦手な教科でした。
しかし、受験勉強で国語に真剣に取り組んだ結果、最終的には国語を得意科目とすることができ、入試でも高得点を取ることができ、現在、国語の講師として仕事ができるまでになりました。
また、僕もあまり本を読まなかったです。よく母に本を読めと言われていましたが、頑なに読まなかったですね笑
それでも国語力を上げることができたので、勉強のみで国語力を上げることは可能です。
しかし、やはり本が好きな子は国語力が高い印象を受けます。文章の内容をざっくりと理解し、感覚的に国語の問題を正解することができます。
逆に、本をあまり読まずに、勉強として国語の文章問題に何度も取り組んでいると、より論理的に文章が読めるようになります。
ただ文章を読んで内容を理解しようとするのではなく、算数や理科などと同じように、文章を読みながら問題を解くコツを理解し、「国語の問題で正解を出すための読み方」を身につけることができます。「主語・語尾意識、キーワード意識、主題意識」などのコツがありますが、これはこの文面では説明しきれません。
この力を身につけるには相当な量の演習と添削が必要です。本をあまり読まずして国語力をつけるには、自分の解答を添削してくれる先生と二人三脚体制を取りましょう。
それが不可能なら、普段からある程度本を読み、根本的な文章力を高めるのが良いでしょう。
どちらの勉強法を取るのかは、息子様との相性次第だと思います。

都内で主に小・中学生を対象にプロ家庭教師をしております。
国語が苦手とのことですね。

国語という科目は、その問題文が（私たちが普段使っている）現代日本語で書かれているがゆえに、解法がいまいち確立していないように思われます。これは、解答するためにある程度専門的な知識を要する他の科目とは決定的に異なる点です。
子どもたちの中には、そういった解法を学ばずとも”なんとなくできてしまう”子も一定数います。しかしながらこういった類いのお子様は、中学・高校と進んでいき文章のレベルが上がるにつれ得てして”我流”では歯が立たなくなり、そこで初めて国語の基礎力不足を痛感するものです。

質問者様のご子息は現時点で国語があまり得意ではないということですが、逆に小学生の段階でしっかりとした文章の読み方を身につけるチャンスと捉えることもできます。残念ながらここでその全てを説明するのは困難なことですので、もし興味がおありでしたら是非個別にご相談ください。

最後になりますが、本を無理に読ませる必要はないですよ！ただご子息自身が興味を示されたものは積極的に買い与えたほうが良いです。やはりお子様は興味のあるものに対しては高い集中力を発揮してくれるものです。　

こんにちは
長年個別指導で中学受験を担当しているものです。
国語の勉強法は大変難しいですよね。仰る通り、本を読むことは大変効果的です。本を読むことで文章を要約したり登場人物の気持ちを推測したりする力がつくことはもちろん、漢字や慣用句といった表現技法も学習することができます。
受験までまだ一年半以上あるため、焦らず着実に力をつけていくことが大切です。